Question

（2013•浙江模擬）已知直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD⊥AB，△CDE是邊長為2的等邊三角形，AB=5．沿CE將△BCE折起，使B至B′處，且B′C⊥DE；然后再將△ADE沿DE折起，使A至A′處，且面A′DE⊥面CDE，△B′CE和△A′DE在面CDE的同側(cè)．

（Ⅰ） 求證：B′C⊥平面CDE；
（Ⅱ） 求平面B′A′D與平面CDE所構(gòu)成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在原平面圖形中，利用根據(jù)變的關(guān)系利用勾股定理得到BC⊥CE，即立體圖中B^′C⊥CE，結(jié)合已知B′C⊥DE，利用線面垂直的判定定理可得結(jié)論；
（Ⅱ）以C為原點，CE為y軸，CB為z軸建立空間直角坐標系，然后求出平面B′A′D與平面CDE的法向量，利用法向量所成角的余弦值得平面B′A′D與平面CDE所構(gòu)成的銳二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，在直角梯形ABCD中，由，△CDE是邊長為2的等邊三角形，AB=5，
得：AD=

3

，BC=2

3

，CE=2，BE=4，
所以BC2+CE2=(2

3

)2+22=16=BE2．
即B^′C⊥CE，又B^′C⊥DE，DE∩CE=E，所以B′C⊥平面CDE．
（Ⅱ）解：以C為原點，CE為y軸，CB為z軸建立空間直角坐標系，
則C（0，0，0），B′(0，0，2

3

)，D（

3

，1，0），E（0，2，0）
作A^′H⊥DE，因為面A^′DE⊥面CDE，所以A^′H⊥面CDE，且A′H=

3

2

．
在平面圖形中可求解得：H(

3

4

，

7

4

，0)，所以A′(

3

4

，

7

4

，

3

2

)．
易知面CDE的法向量

n1

=(0，0，1)，
設面PAD的法向量為

n2

=(x，y，z)，且

B′D

=(

3

，1，-2

3

)，

B′A′

=(

3

4

，

7

4

，-

3 3

2

)．
由

n2 • B′D =0 n2 • B′A′ =0

，則

3 x+y-2 3 z=0 3 4 x+ 7 4 y- 3 3 2 z=0

，取y=2，得x=

4 3

3

，z=

3

，
所以

n2

=(

4 3

3

，2，

3

)．
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

1• ( 4 3 3 )2+22+( 3 )2

=

3

37

37

．
所以平面B′A′D與平面CDE所構(gòu)成的銳二面角的余弦值為

3 37

37

．

點評：本題考查了線面垂直的判定，考查了利用空間向量求二面角的大小，綜合考查了學生的空間想象能力和計算能力，屬中檔題．