Question

函數(shù)f（x）=x²（0＜x＜1）的圖象如圖所示，其在點M（t，f（t））處的切線為l，l與x軸和直線x=1分別交與點P、Q，點N（1，0），若△PQN的面積為S時點M恰好有兩個，則S的取值范圍為（　�。�

• A、[

  1

  4

  ，

  10

  27

  ）
• B、（

  1

  2

  ，

  10

  27

  ]
• C、（

  1

  4

  ，

  8

  27

  ）
• D、[

  1

  2

  ，

  8

  27

  ）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：設M（t，t²），利用導數(shù)求出函數(shù)在M點處的切線方程，求出P，Q點的坐標，由三角形的面積公式求出△PQN的面積，由面積等于S整理，得到t³-4t²+4t=4S，令g（t）=t³-4t²+4t，由導數(shù)求出g（t）的最大值，再求出g（0），g（1）的值，從而得到△PQN的面積為S時點M恰好有兩個時的4S的范圍，則S的范圍可求．

解答： 解：設點M（t，t²），
由f（x）=x²（0＜x＜1），得：f′（x）=2x，
∴過點M的切線PQ的斜率k=2t．
∴切線PQ的方程為y=2tx-t²．
取y=0，得x=

t

2

，
取x=1，得y=2t-t²，
∴P（

t

2

，0）、Q（1，2t-t²），
∴S△PQN=

1

2

(1-

t

2

)(2t-t2)=S．
整理得：t³-4t²+4t-4S=0．
即t³-4t²+4t=4S．
令g（t）=t³-4t²+4t，
則g′（t）=3t²-8t+4，
由g′（t）=0，解得t1=

2

3

，t₂=2（舍）．
∴當t∈(0，

2

3

)時，g′（t）＞0，g（t）為增函數(shù)．
當t∈(

2

3

，1)時，g′（t）＜0，g（t）為減函數(shù)．
∴當t=

2

3

時，g（t）有極大值，也就是（0，1）上的最大值為

32

27

．
又g（0）=0，g（1）=1．
∴要使△PQN的面積為S時點M恰好有兩個，
則1＜4S＜

32

27

，即

1

4

＜S＜

8

27

．
∴S的取值范圍為(

1

4

，

8

27

)．
故選：C．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了分離變量法，是中檔題．