Question

（08年福建卷文）（本小題滿分14分）

如圖，橢圓的一個焦點是，且過點。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M。

    （）求證：點M恒在橢圓C上；

（）求面積的最大值。

Answer 1

解析：本小題主要考查直線與橢圓的位置關系、軌跡方程、不等式等基本知識，考查運算能力和綜合解題能力。

解法一：

（Ⅰ）由題設，從而，

所以橢圓C的方程為。

（Ⅱ）（）由題意得。

設則，。 ……………………………… ①

與的方程分別為：

。

設，則有

由②，③得。

。

所以點M恒在橢圓C上。

（）設AM的方程為，代入得。

設，則有：。

。

令，則

，

因為，

有最大值3，此時AM過點F。

△AMN的面積有最大值。

解法二：

（Ⅰ）同解法一：

（Ⅱ）（）由題意得。

設則，。 ……………………………… ①

與的方程分別為： …………………………… ②

…………………………… ③

由②，③得：當時，�！�……………………… ④

由④代入①，得。

當時，由②，③得：

解得    與矛盾。

所以點M的軌跡方程為即點M恒在橢圓C上。

（Ⅱ）同解法一。