Question

【題目】如圖，在三棱錐D-ABC中為銳角三角形，平面ACD⊥平面.

（1）求證：CD⊥平面ABC

（2）若直線BD與平面ACD所成角的正弦值為，求二面角D-AB-C的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）

【解析】

（1）過作，交于點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面ACD，從而證出，再由，利用線面垂直的判定定理即可證出.

（2）過作，交于點(diǎn)，則為二面角D-AB-C 的平面角，在中，由余弦定理求出，利用三角形面積相等求出，即可求解.

（1）過作，交于點(diǎn)，

平面ACD⊥平面，且平面ACD平面，

則平面ACD，平面ACD，，

又，，

，平面ABC.

（2）過作，交于點(diǎn)，

則為二面角D-AB-C 的平面角，

由（1）可知，為直線BD與平面ACD所成角，即，

設(shè)，由，

則，，

所以，

由，解得，

所以，

由為銳角三角形，

所以，

在中，由余弦定理，

，

所以，

由，解得，

所以，

所以 .