Question

（本題滿分16分）已知數(shù)列中,, 為實常數(shù)）,前項和恒為正值，且當(dāng)時,.

⑴ 求證:數(shù)列是等比數(shù)列；

⑵ 設(shè)與的等差中項為,比較與的大��；

⑶ 設(shè)是給定的正整數(shù)，.現(xiàn)按如下方法構(gòu)造項數(shù)為有窮數(shù)列：

當(dāng)時，；

當(dāng)時，.

求數(shù)列的前項和.

 

Answer 1

【答案】

（本題滿分16分）

解:⑴當(dāng)時, ,

化簡得,                         .………………………2分

又由,得, 解得,

∴，也滿足,         .………………………4分

而恒為正值,  ∴數(shù)列是等比數(shù)列.                .………………………5分

⑵的首項為1，公比為，.當(dāng)時,,

∴.

當(dāng)時,,

此時                                         . .……………………7分                

當(dāng)時,

.

∵恒為正值 ∴ 且,

若,則,    若,則.    .……………………10分

綜上可得,當(dāng)時, ；

當(dāng)時，若，則，   若,則 .……………………11分

⑶∵  ∴ ,當(dāng)時, .

若,則由題設(shè)得

 ..……………………13分若,則

.

綜上得.           .………………………16分

【解析】略