Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）令V（x）=2f（x）-x²-kx（k∈R），如果V（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)（0＜x₁＜x₂），且線段AB的中點(diǎn)為C（x，0），函數(shù)V（x）的導(dǎo)函數(shù)為V′（x），求證：V′（x）≠0．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，分離參數(shù)，求出函數(shù)的最值，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）利用反證法，求導(dǎo)函數(shù)，利用V（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)（0＜x₁＜x₂），且線段AB的中點(diǎn)為C（x，0），從而可引出矛盾．
解答：（1）解：由題意，h（x）=lnx+x²-bx，
∵函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，
∴對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立
分離參數(shù)可得，
所以…（4分）
（2）證明：V（x）=2f（x）-x²-kx（k∈R），所以
令V′（x）=0，則由題意可得①；②
x₁+x₂=2x③；=0④
由①②得
由④得
所以，即⑤（8分）
令，則，所以
因此u（t）在（0，1）上是增函數(shù)，
所以u(píng)（t）＜u（1）=0，即與⑤矛盾 
因此假設(shè)不成立  
故V'（x）≠0（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查反證法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．