Question

（2012•綿陽二模）為備戰(zhàn)2012年倫敦奧運(yùn)會，爾家籃球隊分輪次迸行分項冬訓(xùn)．訓(xùn)練分為甲、乙兩組，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在冬訓(xùn)期間甲、乙兩組完成各項訓(xùn)練任務(wù)的概率分別為

2

3

和P（P＞0）假設(shè)每輪訓(xùn)練中兩組都各有兩項訓(xùn)練任務(wù)需完成，并且每項任務(wù)的完成與否互不影響．若在一輪冬訓(xùn)中，兩組完成訓(xùn)練任務(wù)的項數(shù)相等且都不小于一項，則稱甲、乙兩組為“友好組”
（I）若p=

1

2

求甲、乙兩組在完成一輪冬訓(xùn)中成為“友好組”的概率；
（II）設(shè)在6輪冬訓(xùn)中，甲、乙兩組成為“友好組”的次數(shù)為ζ，當(dāng)Eζ≤2時，求P的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)在一輪冬訓(xùn)中，兩組完成訓(xùn)練任務(wù)的項數(shù)相等且都不小于一項，甲、乙兩組為“友好組”，利用相互獨(dú)立事件的概率公式，結(jié)合p=

1

2

，可求甲、乙兩組在完成一輪冬訓(xùn)中成為“友好組”的概率；
（Ⅱ）先求出甲、乙兩組在完成一輪冬訓(xùn)中成為“友好組”的概率為P₂，再利用Eζ≤2時，即可求得p的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)甲、乙兩組在完成一輪冬訓(xùn)中成為“友好組”的概率為P₁，則
P1=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

C

1 2

×(

1

2

)2+

C

2 2

×(

2

3

)2×

C

2 2

×(

1

2

)2=

2

9

+

1

9

=

1

3

．（5分）
（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩組在完成一輪冬訓(xùn)中成為“友好組”的概率為P₂，
則P2=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

C

1 2

×p(1-p)+

C

2 2

×(

2

3

)2×

C

2 2

×p2=

8

9

p-

4

9

p2，（9分）
∵ξ～B（6，P₂），
∴Eξ=6P₂≤2
即6(

8

9

p-

4

9

p2)≤2，
∴4p²-8p+3≥0
∵p＞0，
∴0＜p≤

1

2

．   （12分）

點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查相互獨(dú)立事件的概率，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．