Question

【題目】如圖，平面，，，為中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2） ；（3）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)G點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，由F，G分別為DC，BC中點(diǎn)，知且 ，又AE∥BD且，故AE∥FG且AE=FG，由此能夠證明EF⊥平面BCD．（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)O和DE的中點(diǎn)H，分別以O(shè)C、OB、OH所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，， ，．求出面CDE的法向量，面ABDE的法向量，由此能求出二面角的大小．（Ⅲ）由面CDE的法向量，，利用向量法能求出點(diǎn)A到平面CDE的距離．

試題解析：解：⑴取中點(diǎn)點(diǎn)，連接、，

∵、分別為、中點(diǎn)，∴且，又且．

∴且，∴四邊形為平行四邊形，則，

∵平面，，∴平面．

又∵平面，∴平面平面，

∵為中點(diǎn)，且，∴，∴平面，∴平面．

⑵取的中點(diǎn)和的中點(diǎn)，

分別以、、所在直線為、、軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，， 設(shè)面的法向量，

則，取，

取面的法向量，

由，

故二面角的大小為．

⑶由⑵，面的法向量，，

則點(diǎn)到平面的距離， ．.