Question

（2008•湖北模擬）若函數(shù)f（x）=sin²ax-sinaxcosax（a＞0）的圖象與直線y=m相切，并且切點的橫坐標依次成公差為

π

2

的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求a、m的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，

π

2

]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先通過二倍角公式、兩角和與差的正弦公式將函數(shù)f（x）化簡為y=Asin（wx+φ）+b的形式，根據(jù)T=

π

2

=

2π

w

可求出a，函數(shù)f（x）的最大值等于m等于A+b可求m的值．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象規(guī)律，先解不等式2kπ-

π

2

≤4x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，再找到函數(shù)在R上的單調(diào)區(qū)間，取適當?shù)膋值，與區(qū)間[0，

π

2

]取交集，就可得到函數(shù)在[0，

π

2

]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）f（x）=sin²ax-sinaxcosax
=

1-cos2ax

2

-

sin2ax

2

=-

1

2

(sin2ax+cos2ax)+

1

2

=-

2

2

sin(2ax+

π

4

)+

1

2

（2分）
由題意：f（x）的周期為

π

2

∴

2π

2a

=

π

2

∴a=2（4分）
∴f(x)=-

2

2

sin(4x+

π

4

)+

1

2

，
∴m=-

2

2

+

1

2

或

2

2

+

1

2

（6分）
（2）令：2kπ-

π

2

≤4x+

π

4

≤2kπ+

π

2

k∈Z
∴

kπ

2

-

3π

16

≤x≤

kπ

2

+

π

16

  ，k∈Z又∵x∈[0，

π

2

]
∴f（x）在[0，

π

2

]上的單調(diào)遞減區(qū)間是：[0，

π

16

]和[

5π

16

，

π

2

]（12分）

點評：本題主要考查二倍角公式、兩角和與差的正弦公式等三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等等，屬于中檔題．三角函數(shù)的公式比較多，要強化記憶熟練掌握做題時方能游刃有余．