Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為,是橢圓上異于的任一點(diǎn),直線分別交軸于點(diǎn),證明:為定值,并求出該定值；
(3)在橢圓上，是否存在點(diǎn)，使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對應(yīng)的的面積；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在點(diǎn)滿足題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為．

試題分析：（1）由題目給出的條件直接列關(guān)于的方程組求解的值，則橢圓方程可求；（2）由橢圓方程求出橢圓上下頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由直線方程的兩點(diǎn)式寫出直線的方程，取后得到和的長度，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上整體化簡運(yùn)算可證出為定值；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使得直線與圓，相交于不同的兩點(diǎn)，且的面積最大，由點(diǎn)在橢圓上得到關(guān)于和的關(guān)系式，由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到直線的距離，由圓中的半徑，半弦長和弦心距之間的關(guān)系求出弦長，寫出的面積后利用基本不等式求面積的最大值，利用不等式中等號(hào)成立的條件得到關(guān)于和的另一關(guān)系式，聯(lián)立后可求解的坐標(biāo)．
試題解析：
（1）由題意：，解得：
所以橢圓
(2) 由（1）可知,設(shè),
直線:,令,得;
直線:,令,得;
則,
而,所以,
所以
(3)假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，則，即
設(shè)圓心到直線的距離為，則，且
所以
所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824025812347618.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值
由，解得
所以存在點(diǎn)滿足題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為

此時(shí)的面積為．