Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=

3

，AD=CD=1．
（1）求證：BD⊥AA₁；
（2）在棱BC上取一點(diǎn)E，使得AE∥平面DCC₁D₁，求

BE

EC

的值．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的性質(zhì)，證明BD⊥平面AA₁C₁C，可得BD⊥AA₁；
（2）點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，即

BE

EC

=1，再證明AE∥DC，利用線面平行的判定，可得AE∥平面DCC₁D₁．

解答：（1）證明：在四邊形ABCD中，因為BA=BC，DA=DC，所以BD⊥AC．
因為平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面AA₁C₁C，
因為AA₁?平面AA₁C₁C，
所以BD⊥AA₁；
（2）解：點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，即

BE

EC

=1，
下面給予證明：在三角形ABC中，因為AB=AC，E為BC中點(diǎn)，所以AE⊥BC，
又在四邊形ABCD中，AB=BC=CA=

3

，DA=DC=1，所以∠ACB=60°，∠ACD=30°，
所以DC⊥BC，即平面ABCD中有，AE∥DC．
因為DC?平面DCC₁D₁，AE?平面DCC₁D₁，
所以AE∥平面DCC₁D₁．

點(diǎn)評：本題考查面面垂直的性質(zhì)，考查線面平行的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)，線面平行的判定是關(guān)鍵．