Question

（2011•廣州模擬）已知函數(shù)f(x)=sin(2x+

3π

2

 )(x∈R)，給出下面四個命題：
①函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=

π

4

對稱；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上是增函數(shù)，
其中正確命題的個數(shù)是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：由于f（x）=sin（2x+

3π

2

）=-cos2x，利用y=-cos2x的周期性、奇偶性、對稱性與單調(diào)性即可判斷①②③④．

解答：解：∵f（x）=sin（2x+

3π

2

）=-cos2x，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π，①正確；
函數(shù)f（x）是偶函數(shù)②正確；
∵f（0）=-1，f（

π

2

）=1，
∴f（0）≠f（

π

2

），
∴③函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=

π

4

對稱是錯誤的；
∵0≤x≤

π

2

，故0≤2x≤π，而y=cosx在[0，π]單調(diào)遞減，
∴f（x）=-cos2x在區(qū)間[0，

π

2

]上是增函數(shù)，即④正確．
綜上所述，①②④正確．
故選C．

點評：本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性、對稱性，著重考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．