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          精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          
			
          
				設函數f(x)=
          x+
          1
          x
          [x]•[
          1
          2
          ]+[x]+[
          1
          2
          ]+1
          （x＞0），其中[x]表示不超過x的最大整數，如[2]=2，[
          1
          3
          ]          =0，[1.8]=1．
          （1）求f(
          3
          2
          )          的值；
          （2）若在區(qū)間[2，3）上存在x，使得f（x）≤k成立，求實數k的取值范圍．			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）先根據[x]表示不超過x的最大整數求出[
          3
          2
          ]          與[
          2
          3
          ]          的值，然后代入函數即可求出f(
          3
          2
          )          的值；
          （2）先求出函數f（x）的解析式，然后利用導數研究出函數的單調性，求出函數在[2，3）上的最大值，即可求出k的范圍．
          解答：解：（1）因為[
          3
          2
          ]=1，[
          2
          3
          ]=0          ，
          所以f(
          3
          2
          )=
          3
          2
          +
          2
          3
          [
          3
          2
          ]• [
          2
          3
          ]+[
          3
          2
          ] +[
          2
          3
          ] +1
          =
          13
          12

          （2）因為2≤x＜3，
          所以[x]=2，[
          1
          x
          ]=0          ，
          則f(x)=
          1
          3
          (x+
          1
          x
          )          ．
          求導得f′(x)=
          1
          3
          (1-
          1
          x2
          )          ，當2≤x＜3時，顯然有f'（x）＞0，
          所以f（x）在區(qū)間[2，3）上遞增，
          即可得f（x）在區(qū)間[2，3）上的值域為[
          5
          6
          ，
          10
          9
          )          ，
          在區(qū)間[2，3）上存在x，使得f（x）≤k成立，
          所以k≥
          10
          9
          ．
          點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及函數的值，題目比較新穎，在高考中�？己愠闪栴}，屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
          （1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
          		2
          ，求a的值；
          （2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
          （3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
          		2
          2
          ，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          設函數f（x）=p（x-
          1
          x
          ）-2lnx，g（x）=
          2e
          x
          （p是實數，e為自然對數的底數）
          （1）若f（x）在其定義域內為單調函數，求p的取值范圍；
          （2）若直線l與函數f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數f（x）的圖象相切于點（1，0），求p的值；
          （3）若在[1，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），則稱f（x）為M上的高調函數．現給出下列三個命題：
          ①函數f(x)=(
          12
          )x          為R上的l高調函數；
          ②函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數；
          ③如果定義域是[-1，+∞）的函數f（x）=x2為[-1，+∞）上的m高調函數，那么實數m的取值范圍[2，+∞）；
          其中正確的命題是
          ②③
          ②③
          （填序號）
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
          ①f(-
          3
          4
          ) ＜f(
          15
          2
          )          ；
          ②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
          ③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數列；
          ④關于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
          其中真命題的個數為（　　）
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：徐州模擬
				題型：解答題
			
          

						
          設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
          （1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
          		2
          ，求a的值；
          （2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
          （3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
          		2
          2
          ，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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