Question

【題目】已知函數(shù)（且）

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證： .

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由知分， 兩種情況討論即得解；（2），設(shè)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，設(shè)，因?yàn)?/span>， ，所以， ，相減得，相加得.要證，即證，即，即，換元設(shè)上式轉(zhuǎn)化為.構(gòu)造函數(shù)

求導(dǎo)研究單調(diào)性即可得證.

試題解析：

（1）由知

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.

（2），設(shè)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，

設(shè)，

∵， ，

∴， ，

∴， .

要證，即證，

即，即，

設(shè)上式轉(zhuǎn)化為.

設(shè)，∴，∴在上單調(diào)遞增，

∴，∴，∴.