Question

設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記．

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）求證：

（）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立；

（）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

Answer 1

本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力．

（I）解：．

由，得

．

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，

單調(diào)遞減區(qū)間是．

（II）證明：（i）方法一：

令，則

，

當(dāng)時(shí)，由，得，

當(dāng)時(shí)，，

所以在內(nèi)的最小值是．

故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

方法二：

對(duì)任意固定的，令，則

，

由，得．

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．

因此當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

（ii）方法一：

．

由（i）得，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

即存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

下面證明的唯一性：

當(dāng)，，時(shí)，

，，

由（i）得，，

再取，得，

所以，

即時(shí)，不滿(mǎn)足對(duì)任意都成立．

故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，

使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

方法二：對(duì)任意，，

因?yàn)?sub>關(guān)于的最大值是，所以要使對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是：

，

即，                             ①

又因?yàn)?sub>，不等式①成立的充分必要條件是，

所以有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，

使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．