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        1. (本題15分)設(shè),對任意實數(shù),記

          (I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

          (II)求證:(。┊(dāng)時,對任意正實數(shù)成立;

          (ⅱ)有且僅有一個正實數(shù),使得對任意正實數(shù)成立.

           

          【答案】

          (I)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,,

          單調(diào)遞減區(qū)間是

          (II)當(dāng)時,對任意正實數(shù)成立.

          (ⅱ)有且僅有一個正實數(shù),

          使得對任意正實數(shù)成立.

          【解析】(I)解:

          ,得

          因為當(dāng)時,,

          當(dāng)時,,

          當(dāng)時,,

          故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,,

          單調(diào)遞減區(qū)間是

          (II)證明:(i)方法一:

          ,則

          當(dāng)時,由,得,

          當(dāng)時,,

          所以內(nèi)的最小值是

          故當(dāng)時,對任意正實數(shù)成立.

          方法二:

          對任意固定的,令,則

          ,

          ,得

          當(dāng)時,

          當(dāng)時,

          所以當(dāng)時,取得最大值

          因此當(dāng)時,對任意正實數(shù)成立.

          (ii)方法一:

          由(i)得,對任意正實數(shù)成立.

          即存在正實數(shù),使得對任意正實數(shù)成立.

          下面證明的唯一性:

          當(dāng),,時,

          ,

          由(i)得,,

          再取,得

          所以,

          時,不滿足對任意都成立.

          故有且僅有一個正實數(shù),

          使得對任意正實數(shù)成立.

          方法二:對任意,

          因為關(guān)于的最大值是,所以要使對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是:

          ,

          ,                 ①

          又因為,不等式①成立的充分必要條件是,

          所以有且僅有一個正實數(shù),

          使得對任意正實數(shù)成立.

           

          練習(xí)冊系列答案
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             (I)證明:函數(shù)是集合M中的元素;

             (II)證明:函數(shù)具有下面的性質(zhì):對于任意,都存在,使得等式成立。 

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          (Ⅱ)若對任意的,都成立,求實數(shù)的取值范圍.

          注:為自然對數(shù)的底數(shù).

           

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          (3)設(shè),是否存在正實數(shù),使得對任意,都有成立?

          若存在,求實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.

           

           

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