Question

（2012•金華模擬）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組

2x-y-1≥0 4x-y-6≤0 2x+y+6≥0

，則4x²+y²的最小值為

1

2

．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，我們要先畫出滿足約束條件

2x-y-1≥0 4x-y-6≤0 2x+y+6≥0

，的平面區(qū)域，然后設(shè)4x²+y²=a，將其視在橢圓的方程，分析平面區(qū)域里各個(gè)點(diǎn)，利用直線與橢圓的位置關(guān)系，求出4x²+y²的最小值．

解答：解：依題意作出可行性區(qū)域

2x-y-1≥0 4x-y-6≤0 2x+y+6≥0

，如圖，
設(shè)4x²+y²=a，將其視在橢圓的方程，當(dāng)此橢圓與直線2x-y-1=0相切時(shí)，4x²+y²取得最小值，
由

2x-y-1=0 4x2+y2=a

消去y得8x²-4x+1-a=0，由△=0得16-32（1-a）=0得a=

1

2

，
故目標(biāo)函數(shù)z=4x²+y²在直線2x-y-1=0與橢圓4x²+y²=

1

2

相切處取到最小值

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃、直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．