Question

【題目】雙曲線x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 直線l過F2且與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．
（1）直線l的傾斜角為 ，△F1AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；
（2）設(shè)b= ，若l的斜率存在，且（ ） =0，求l的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）

解：雙曲線x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，a=1，c2=1+b2，

直線l過F2且與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，

直線l的傾斜角為 ，△F1AB是等邊三角形，

可得：A（c，b2），可得： ，

3b4=4a2+b2，

即3b4﹣b2﹣4=0，

b＞0，解得b2= ．

所求雙曲線方程為：x2﹣ =1

（2）

解：b= ，雙曲線x2﹣ =1，可得F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0）．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線的斜率為：k= ，

直線l的方程為：y=k（x﹣2），

由題意可得： ，消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，可得x1+x2=﹣ ，

則y1+y2=k（x1+x2﹣4）= ．

=（x1+2，y1），

=（x2+2，y2），

（ ） =0可得：（x1+x2+4，y1+y2）（x1﹣x2，y1﹣y2）=0，

可得： =k，

，

可得：k2=1，

解得k=±1．

l的斜率為：±1

【解析】（1）利用直線的傾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到雙曲線方程．
（2）求出左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，推出A、B坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為0，即可求值直線的斜率．
本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，平方差法以及直線與雙曲線方程聯(lián)立求解方法，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．