Question

【題目】如圖，三棱臺(tái)中，，．

（1）證明：；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）過作交于點(diǎn)，連接，易證得，進(jìn)而得到，得到，即，由線面垂直的判定定理得到平面，進(jìn)而得到；

（2）根據(jù)題意，進(jìn)一步得到，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，利用公式求得的值，進(jìn)而得到二面角的余弦值.

（1）過作交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，所以，

所以，即，

因?yàn)?/span>，所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以．

（2）因?yàn)?/span>，

所以，所以，

所以，因?yàn)?/span>，

所以，所以．

如圖，以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

易知，所以，

所以，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則即

取，

易知平面的一個(gè)法向量，

則，

因?yàn)槎�面�?/span>為銳角，

所以二面角的余弦值為．