Question

已知點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)圖象上．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設a_n=n（n為正整數(shù)），過點P_n，P_n+1的直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為c_n，試求最小的實數(shù)t，使c_n≤t對一切正整數(shù)n恒成立；
（Ⅲ）對（Ⅱ）中的數(shù)列{a_n}，對每個正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入3^k-1個3，得到一個新的數(shù)列{d_n}，設S_n是數(shù)列{d_n}的前n項和，試探究2008是否數(shù)列{S_n}中的某一項，寫出你探究得到的結論并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）若設數(shù)列{a_n}的公差為d，則，為常數(shù)，即證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）若a_n=n，則，得點，，從而得斜率，即得直線P_nP_n+1的方程，求得它與x軸，y軸的交點A_n，B_n，得數(shù)列{c_n}的通項公式，{c_n}的增減性，知，即得最小的實數(shù)t的值．
（Ⅲ）由a_n=n，知數(shù)列{d_n}中，從第一項a₁開始到a_k為止的所有項的和是（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1），k=7時，和是，k=8時，和是；2008-1120=888是3的倍數(shù)，所以存在自然數(shù)m，使S_m=2008；求出m的值即可．
解答：解：（Ⅰ）設數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知，
所以，（常數(shù)），
所以，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）若a_n=n，則，
∴，，，
直線P_nP_n+1的方程為，
它與x軸，y軸分別交于點A_n（n+2，0），，
∴，
，
∴數(shù)列{c_n}隨n增大而減小，
∴，即最小的實數(shù)t的值為．
（Ⅲ）∵a_n=n，∴數(shù)列{d_n}中，從第一項a₁開始到a_k為止（含a_k項）的所有項的和是：
（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1）=+，
當k=7時，其和是，
而當k=8時，其和是．
又因為2008-1120=888=296×3，是3的倍數(shù)，
所以存在自然數(shù)m，使S_m=2008．
此時m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+296=667．
點評：本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應用問題，解題時靈活應用了等比關系的確定，數(shù)列的求和公式等知識，是較難的題目．