Question

將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=，
（Ⅰ）求證：DE⊥AC；
（Ⅱ）求DE與平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）直線BE上是否存在一點M，使得CM∥平面ADE，若存在，求點M的位置，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點AB，AD，AE所在的直線分別 為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則， 做BD的中點F并連接CF，AF， 由題意可得CF⊥BD且， 又∵平面BDA⊥平面BDC， ∴CF⊥平面BDA， 所以C的坐標(biāo)為， ∴， ∴， 故DE⊥AC。 （Ⅱ）設(shè)平面BCE的法向量為， 則， ∴， 令x=1得，， 又， 設(shè)DE與平面BCE所成角為θ， 則； （Ⅲ）假設(shè)存在點M使得CM∥面ADE， 則，， ∴，得， 又因為AE⊥平面ABD，AB⊥BD， 所以AB⊥平面ADE， 因為CM∥面ADE， 則， 得， ∴， 故點M為BE的中點時，CM∥面ADE。