Question

如圖，已知橢圓＝1(a>b>0)，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF₂交橢圓于另一點(diǎn)B.

(1)若∠F₁AB＝90°，求橢圓的離心率；
(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．

Answer 1

（1）（2）＝1

(1)若∠F₁AB＝90°，則△AOF₂為等腰直角三角形，所以有OA＝OF₂，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.
(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)₁(－c，0)，F(xiàn)₂(c，0)，
其中，c＝，設(shè)B(x，y)．
由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入＝1，得＝1，即＝1，解得a²＝3c².①
又由·＝(－c，－b)·，得b²－c²＝1，即有a²－2c²＝1.②
由①②解得c²＝1，a²＝3，從而有b²＝2.
所以橢圓方程為＝1.