Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且a₃=5，S₃=9
（1）求首項(xiàng)a₁和公差d；
（2）若存在數(shù)列{b_n}，使a₁b₁+a₂b₂+L+a_nb_n=5+（2n-3）2ⁿ⁺¹對任意正整數(shù)n都成立，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，進(jìn)行求解；
（2）已知a₁b₁+a₂b₂+L+a_nb_n=5+（2n-3）2ⁿ⁺¹，可以把等式兩邊n換為n-1，然后兩式相減，可以推出b_n的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

解答：解：（1）由題意可得

a1+2d=5 3a1+ 3(3-1) 2 d=9

，解得

a1=1 d=2

；
（2）由題意得，當(dāng)n≥2時(shí)，有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=5+（2n-3）2ⁿ⁺¹，①
又a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=5+（2n-5）2ⁿ，②
①-②得，a_nb_n=5+（2n-3）2ⁿ⁺¹-[5+（2n-5）2ⁿ]=（2n-1）2ⁿ，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=2ⁿ，
又當(dāng)n=1時(shí)，a₁b₁=5+（2×1-3）2²=1，∴b₁=1；
∴b_n=

1，n=1 2n，n≥2

；
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=1+4+8+…+2ⁿ=1+

4(2n-1-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-3，
又當(dāng)n=1時(shí)，T₁=1，符合上式，
T_n=2ⁿ⁺¹-3；

點(diǎn)評：此題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的性質(zhì)，前n項(xiàng)求和的問題，是一道中檔題，計(jì)算時(shí)要仔細(xì)；