Question

（2012•包頭一模）如圖，四邊形DCBE為直角梯形，∠DCB=90°，DE∥CB，DE=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，CD⊥AB，直線AE與直線CD所成角為60°．
（Ⅰ）求證：平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求BE與平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明CD⊥平面ABC，利用面面垂直的判定，可證平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點與向量，由直線AE與直線CD所成角為60°，確定

BE

的坐標(biāo)，求出平面ACE的一個法向量

n

=(

3

，3，-3)，利用向量的夾角公式，可求BE與平面ACE所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：∵CD⊥AB，CD⊥CB，AB∩BC=B
∴CD⊥平面ABC
∵CD?平面ACD
∴平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：在平面ACB內(nèi)，過C作CF⊥CB，以C為原點，以CF，CB，CD所在射線為x，y，z的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz（如圖）

由題意，設(shè)CD=a（a＞0），則D（0，0，a），E（0，1，a），B（0，2，0），A（

3

2

，-

1

2

，0）
∴

AE

=(-

3

2

，

3

2

，a)，

CD

=(0，0，a)
由直線AE與直線CD所成角為60°，得

AE

•

CD

=|

AE

||

CD

|cos60°，即a2=

a

2

a2+3

，解得a=1．
∴

CE

=(0，1，1)，

CA

=(

3

2

，-

1

2

，0)，

BE

=(0，-1，1)，
設(shè)平面ACE的一個法向量為

n

=（x，y，z），則

n • CA =0 n • CE =0

，
即

3 2 x- 1 2 y=0 y+z=0

，取x=

3

，則y=3，z=-3，得

n

=(

3

，3，-3)，
設(shè)BE與平面ACE所成角為θ，則sinθ=

| BE • n |

| BE || n |

=

42

7

，于是BE與平面ACE所成角的正弦值為

42

7

．

點評：本題考查面面垂直，考查線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定方法，正確確定向量的坐標(biāo)，屬于中檔題．