Question

【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,側(cè)面底面,,,是中點(diǎn),為的中點(diǎn),點(diǎn)在側(cè)棱上(不包括端點(diǎn)).

(1)求證：

(2)是否存在點(diǎn),使與平面所成角的正弦值為,若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，.

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可證得，，由線(xiàn)面垂直判定定理可證得平面，由線(xiàn)面垂直性質(zhì)證得結(jié)論；

（2）由面面垂直性質(zhì)可知平面，則以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系；設(shè)，利用向量線(xiàn)性運(yùn)算可求得點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)線(xiàn)面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到結(jié)果.

（1）連接

，為中點(diǎn)

在菱形中， 為等邊三角形

平面， 平面

平面

（2）平面平面，平面平面，

平面 ，，又

則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系

則，，，

假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意，設(shè)，

則

，，

設(shè)平面的法向量為

，令，則，

設(shè)與平面所成角為

則，解得：或（舍）

存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，此時(shí)