Question

已知橢圓C的離心率e=

3

2

，長軸的左右兩個端點分別為A₁（-2，0），A₂（2，0）；
（1）求橢圓C的方程；
（2）點M在該橢圓上，且

MF1

•

MF2

=0，求點M到y(tǒng)軸的距離；
（3）過點（1，0）且斜率為1的直線與橢圓交于P，Q兩點，求△OPQ的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)長軸端點判斷橢圓位置和a，再由離心率和a²=b²+c²，求得b²，即可求出橢圓方程．
（2）先求出

MF1

•

MF2

的解析式，把點M（x₁，y₂）代入橢圓，根據(jù)

MF1

•

MF2

=0，即可求得結(jié)果．
（3）橢圓與直線方程聯(lián)立，得交點 坐標，進而結(jié)合三角形面積公式計算可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意可知e=

c

a

=

3

2

，a=2
∵a²=b²+c²=4
^∴b2=1
所以橢圓的方程為

x2

4

+y2=1
（2）設點M（x₁，y₁）在雙曲線上
則y²=1-

x2

4

由橢圓

x2

4

+y2=1
知F₁（

3

，0），F(xiàn)₂（-

3

，0）
∴

MF1

•

MF2

=x₁²-3+y₁²=0
∴x₁²=

8

3

∴點M到y(tǒng)軸的距離為

2 6

3

．
（3）由題意知

x2+4y2=4 y=x-1

4x2+5y2-20=0 y=2(x-1)

，
解方程組得交點p（0，-1），P（

8

5

，

3

5

），
∴S_△OPQ=

1

2

（1×1+1×

3

5

）=

4

5

．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，解題時要注意對于圓錐曲線目前主要以定義及方程為主，對于直線與圓錐曲線的位置關系只要掌握直線與橢圓的相關知識即可．