Question

對(duì)于，定義一個(gè)如下數(shù)陣：

其中對(duì)任意的，，當(dāng)能整除時(shí)，；當(dāng)不能整除時(shí)，．設(shè)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，試寫(xiě)出數(shù)陣并計(jì)算；

（Ⅱ）若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求證：；

（Ⅲ）若，，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）解：依題意可得，

         　．

       　  ．

（Ⅱ）解：由題意可知，是數(shù)陣的第列的和，

         因此是數(shù)陣所有數(shù)的和．

         而數(shù)陣所有數(shù)的和也可以考慮按行相加．

         對(duì)任意的，不超過(guò)的倍數(shù)有，，…，．

         因此數(shù)陣的第行中有個(gè)１，其余是，即第行的和為．

         所以．

（Ⅲ）證明：由的定義可知，，

         所以．

         所以．

         考查定積分，

         將區(qū)間分成等分，則的不足近似值為，

         的過(guò)剩近似值為．

         所以．

         所以．

         所以．

         所以．