Question

【題目】已知橢圓的離心率，直線與圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，線段的中垂線為，求直線在軸上的截距的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）且

【解析】

（1）根據(jù)直線與圓相切和離心率可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，，與橢圓方程聯(lián)立后，利用求得的范圍，并得到韋達(dá)定理的形式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到方程；令可求得在軸的截距，利用函數(shù)值域的求解方法可求得結(jié)果.

（1）直線與圓相切，，解得：，

又，，

橢圓的方程為：；

（2）由題意知：直線的斜率存在且不為零，

設(shè)，，，，中點(diǎn)，

聯(lián)立消去并整理得：，

由得：或

則，，，

，

則方程為：，即，

化簡得：

令得：（或），，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

且，

綜上所述：直線在軸上的截距的取值范圍為且.