Question

（2013•虹口區(qū)二模）已知拋物線C：y²=2px（p＞0），直線l交此拋物線于不同的兩個點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂））
（1）當(dāng)直線l過點M（-p，0）時，證明y₁•y₂為定值；
（2）當(dāng)y₁y₂=-p時，直線l是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由；
（3）記N（p，0），如果直線l過點M（-p，0），設(shè)線段AB的中點為P，線段PN的中點為Q．問是否存在一條直線和一個定點，使得點Q到它們的距離相等？若存在，求出這條直線和這個定點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）易判斷直線l有斜率且不為0，設(shè)l：y=k（x+p），代入拋物線方程消掉x得y的二次方程，由韋達(dá)定理即可證明；
（2）分情況討論：①當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y=kx+b（k≠0），代入拋物線方程消掉x得y的二次方程，由韋達(dá)定理及y₁y₂=-p得b，k的關(guān)系式，假設(shè)直線l過定點（x₀，y₀），則y₀=kx₀+b，用k消掉b即可得到定點坐標(biāo)；
②當(dāng)直線l的斜率不存在，設(shè)l：x=x₀，代入拋物線方程易求y₁y₂，由已知可求得x₀，可判斷此時直線也過該定點；
（3）易判斷直線l存在斜率且不為0，由（1）及中點坐標(biāo)公式可得y_P，代入直線l方程得x_P，設(shè)Q（x，y），由中點坐標(biāo)公式可得點Q軌跡的參數(shù)方程，消掉參數(shù)k后即得其普通方程，由方程及拋物線定義可得準(zhǔn)線、焦點即為所求；

解答：（1）證明：l過點M（-p，0）與拋物線有兩個交點，可知其斜率一定存在，
設(shè)l：y=k（x+p），其中k≠0（若k=0時不合題意），
由

y=k(x+p) y2=2px

得k•y²-2py+2p²k=0，
∴y1•y2=2p2．
（2）①當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y=kx+b，其中k≠0（若k=0時不合題意）．
由

y=kx+b y2=2px

得ky²-2py+2pb=0．
∴y1y2=

2pb

k

=-p，從而b=-

k

2

．
假設(shè)直線l過定點（x₀，y₀），則y₀=kx₀+b，
從而y0=kx0-

k

2

，得(x0-

1

2

)k-y0=0，即

x0= 1 2 y0=0

，即過定點（

1

2

，0）．
②當(dāng)直線l的斜率不存在，設(shè)l：x=x₀，代入y²=2px得y²=2px₀，y=±

2px0

，
∴y1y2=

2px0

•(-

2px0

)=-2px0=-p，
解得x0=

1

2

，即l：x=

1

2

，也過（

1

2

，0）．
綜上所述，當(dāng)y₁y₂=-p時，直線l過定點（

1

2

，0）．
（3）依題意直線l的斜率存在且不為零，
由（1）得點P的縱坐標(biāo)為yP=

1

2

(y1+y2)=

p

k

，代入l：y=k（x+p）得xP=

p

k2

-p，即P（

p

k2

-p，

p

k

）．
設(shè)Q（x，y），則

x= 1 2 ( p k2 -p+p) y= 1 2 • p k

，消k得y2=

p

2

x，
由拋物線的定義知存在直線x=-

p

8

，點(

p

8

，0)，點Q到它們的距離相等．

點評：本題考查直線方程、拋物線方程及其位置關(guān)系，考查分類討論思想，考查學(xué)生探究問題解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，有難度．