Question

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)上任一點P到兩個焦點的距離的和為2，P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積為－.設直線l過橢圓C的右焦點F，交橢圓C于兩點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
(1)若＝ (O為坐標原點)，求|y₁－y₂|的值；
(2)當直線l與兩坐標軸都不垂直時，在x軸上是否總存在點Q，使得直線QA，QB的傾斜角互為補角？若存在，求出點Q坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）4（2）存在Q(3,0)

(1)由橢圓的定義知a＝，設P(x，y)，
則有，則＝－，
又點P在橢圓上，則＝－，
∴b²＝2，
∴橢圓C的方程是＝1.(3分)
∵＝，
∴|cos∠AOB＝，
∴|sin∠AOB＝4，
∴S_△AOB＝|sin∠AOB＝2，
又S_△AOB＝|y₁－y₂|×1，故|y₁－y₂|＝4.(7分)
(2)假設存在一點Q(m,0)，使得直線QA，QB的傾斜角互為補角，
依題意可知直線l斜率存在且不為零，
直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，
由消去y得(3k²＋2)x²－6k²x＋3k²－6＝0，(9分)
設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝.
∵直線QA，QB的傾斜角互為補角，
∴k_QA＋k_QB＝0，即＝0，(13分)
又y₁＝k(x₁－1)，y₂＝k(x₂－1)，
代入上式可得2x₁x₂＋2m－(m＋1)(x₁＋x₂)＝0，
∴2×＋2m－(m＋1)×＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，
∴存在Q(3,0)使得直線QA，QB的傾斜角互為補角．(16分)