Question

設(shè)f（x）是非負(fù)值函數(shù)，對(duì)于x₁，x₂≥0，有等式f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，求證：f（nx）=n²f（x）（n∈N^*）.

分析：所求證的函數(shù)等式是一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，而題設(shè)所給的條件又是一種遞推關(guān)系，所以可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明.

Answer 1

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=f（1·x）=f（x），右邊=1²·f（x）=f（x），所以n=1時(shí)，結(jié)論成立.

（2）假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即f（kx）=k²f（x），則

f［（k+1）x］=f（kx+x）

=f（kx）+f（x）+2

=k²f（x）+f（x）+2

=k²f（x）+f（x）+2kf（x）

=（k+1）²f（x）.

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.

綜合（1）（2），可知對(duì)所有正整數(shù)n，結(jié)論成立.

點(diǎn)評(píng)：在證明n=k+1時(shí)，把f［（k+1）x］化成f（kx+x）是關(guān)鍵，因?yàn)檫@樣能夠使用題設(shè)的條件：

f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2.

把f（kx+x）化成f（kx）的表達(dá)式，從而可以利用歸納假設(shè)進(jìn)行論證.

此外，f（x）=x²就是適合本題的一個(gè)例子.