Question

已知函數(shù)f（x），若f（x）=x，則稱x為f（x）的“不動點”；若f（f（x））=x，則稱x為f（x）的“穩(wěn)定點”．記集合A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}
（1）已知A≠∅，若f（x）是在R上單調(diào)遞增函數(shù)，是否有A=B？若是，請證明．
（2）記|M|表示集合M中元素的個數(shù)，問：（i）若函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若|A|=0，則|B|是否等于0？若是，請證明，（ii）若|B|=1，試問：|A|是否一定等于1？若是，請證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）先用所給定義證明A⊆B，再根據(jù)單調(diào)性用反證法證明B⊆A；
（2）（i）|A|=0即f（x）=x無實根，分a＞0，a＜0兩種情況即可證明；（ii）先根據(jù)定義可證明存在性，再用反證法證明唯一性即可；
解答：（1）證明：有A=B．先證
任取x∈A，則f（x）=x，f（f（x））=f（x）=x，
∴x∈B，∴A⊆B；
再證 任取y∈B，f（f（y））=y，
若f（y）≠y，不妨設f（y）＞y，
由單調(diào)遞增可知：f（f（y））＞f（y）＞y，與f（f（y））=y矛盾，
同理f（y）＜y也矛盾，所以f（y）=y，∴B⊆A，
綜上，A=B．
（2）（i）若|A|=0，則|B|=0，下面證明：
若a＞0，由于f（x）=x無實根，則對任意實數(shù)x，f（x）＞x，從而f（f（x））＞f（x）＞x，
故f（f（x））=x無實根；
同理，若a＜0，對任意實數(shù)x，f（x）＜x，從而f（f（x））＜f（x）＜x，
故f（f（x））=x也無實根，
所以|B|=0．
（ii）若|B|=1，則|A|=1，下面證明：
存在性：不妨設x是B中唯一元素，則f（f（x））=x，
令f（x）=t，f（t）=x，那么f（f（t））=f（x），而f（x）=t，故f（f（t））=t，說明t也是f（f（x））的不動點，
由于f（f（x））只有唯一的不動點，故x=t，即f（t）=t，這說明t也是f（x）的不動點，從而存在性得證；
以下證明唯一性：若f（x）還有另外一個不動點m，即f（m）=m，m≠t，
則f（f（m））=f（m）=m，這說明f（f（x））還有另外一個穩(wěn)定點m與題設矛盾．
故唯一性得證．
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性、集合運算，考查學生推理論證能力及運用所學知識分析問題解決新問題的能力，綜合性強，難度大．