Question

已知雙曲線的右準(zhǔn)線為y軸，且經(jīng)過（1，2）點(diǎn)，其離心率是方程2x²-5x+2=0的根．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）求雙曲線右頂點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

（1）設(shè)雙曲線的離心率為e，由雙曲線的性質(zhì)可得：e＞1，
因?yàn)榉匠?x²-5x+2=0的解是x1=

1

2

，x₂=2，
所以e=2，即所求離心率為2．
（2）設(shè)雙曲線右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）（x＞0），實(shí)半軸長，虛半軸長及半焦距分別為a，b，c，由

c

a

=2得c=2a，b=

3

a．
因?yàn)殡p曲線的右準(zhǔn)線為y軸，
所以x=a-

a2

c

=a-

a

2

=

a

2

，即a=2x，c=4x，
所以雙曲線的右焦點(diǎn)F為（3x，y）．
因?yàn)殡p曲線經(jīng)過（1，2）點(diǎn)，
所以

(3x-1)2+(y-2)2

1

=e=2，
所以整理可得：（3x-1）²+（y-2）²=4．
所以雙曲線右頂點(diǎn)的軌跡方程為（3x-1）²+（y-2）²=4．