Question

已知函數(shù)f(x)=

1-x

ax

+lnx（a為常數(shù)）．
（1）求f′（x）；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在x∈[

1

e

，e]上的最大值和最小值（e≈2.71828）；
（3）求證：ln

n

n-1

＞

1

n

．（n＞1，且n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）直接利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出f′（x）；
（2）把a(bǔ)=1代入其導(dǎo)函數(shù)，找到其在x∈[

1

e

，e]上的單調(diào)性，即可求出其最大值和最小值；
（3）先由（2）知f(x)=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，再令x=

n

n-1

，利用x＞1，f（x）＞f（1）即可證明結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

1-x

ax

+lnx，
所以f'（x）=[

1-x

ax

]'+（lnx）'=

a x-1

ax2

即f′(x)=

ax-1

ax2

．（2分）
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=

x-1

x2

，其中x∈[

1

e

，e]，
而x∈[

1

e

，1)時(shí)，f'（x）＜0；x∈（1，e]時(shí)，f'（x）＞0，
∴x=1是f（x）在[

1

e

，e]上唯一的極小值點(diǎn)，（4分）
∴[f（x）]_min=f（1）=0．（5分）
又f(

1

e

)-f(e)=e-2-

1-e

e

-1=

e(e-2)-1

e

＞0，（6分）
∴f(

1

e

)＞f(e)，∴[f(x)]max=f(

1

e

)=e-2．（7分）
綜上，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在[

1

e

，e]上的最大值和最小值分別為e-2和0．（8分）
（3）若a=1時(shí)，由（2）知f(x)=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，（10分）
當(dāng)n＞1時(shí)，令x=

n

n-1

，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0，（12分）
即f(

n

n-1

)=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，
∴l(xiāng)n

n

n-1

＞

1

n

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)和導(dǎo)數(shù)這一章最基本的知識(shí)，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)．