Question

【題目】已知函數(shù)，（）.

（Ⅰ）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）設，若，若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（是自然對數(shù)的底數(shù)，）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）首先確定函數(shù)定義域為，求出導數(shù)；當時，可知函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)可知滿足題意；當時，可求得導函數(shù)的零點；當零點可知滿足題意；當或結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點存在性定理可判斷出存在不止一個零點，不滿足題意；綜合上述情況得到結(jié)果；（Ⅱ）當時，可知，得到，滿足題意；當時，根據(jù)符號可知單調(diào)遞增，由零點存在性定理可驗證出，使得，從而得到在上單調(diào)遞減，則，不滿足題意，從而得到結(jié)果.

（Ⅰ）由題意得：定義域為，則

①當時，恒成立 在上單調(diào)遞增

又 有唯一零點，即滿足題意

②當時

當時，；當時，

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

⑴當，即時，，有唯一零點，滿足題意

⑵當，即時，

又，且

，使得，不符合題意

⑶當，即時，

設，，則

在上單調(diào)遞增 ，即

又 ，使得，不符合題意

綜上所述：的取值范圍為：

（Ⅱ）由題意得：，則，

①當時，由得：恒成立

在上單調(diào)遞增

即滿足題意

②當時，恒成立 在上單調(diào)遞增

又，

，使得

當時，，即在上單調(diào)遞減

，則不符合題意

綜上所述：的取值范圍為：