Question

我們把平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f（x），x∈D上的點(diǎn)P（x，y），滿足x∈N^*，y∈N^*的點(diǎn)稱為函數(shù)y=f（x）的“正格點(diǎn)”．
（1）請(qǐng)你選取一個(gè)m的值，使對(duì)函數(shù)f（x）=sinmx，x∈R的圖象上有正格點(diǎn)，并寫(xiě)出函數(shù)的一個(gè)正格點(diǎn)坐標(biāo)
（2）若函數(shù)f（x）=sinmx，x∈R，m∈（1，2），與函數(shù)g（x）=lgx的圖象有正格點(diǎn)交點(diǎn)，求m的值，并寫(xiě)出兩個(gè)函數(shù)圖象的所有交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（3）對(duì)于（2）中的m值，函數(shù)f（x）=sinx，x∈[0，

5

9

]時(shí)，不等式log_ax＞sinmx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）若取m=

π

2

時(shí)，
正格點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），（5，1）（9，1）等（答案不唯一）…（2分）
（2）作出兩個(gè)函數(shù)圖象，可知函數(shù)f（x）=sinmx，x∈R，與函數(shù)g（x）=lgx的圖象有正格點(diǎn)交點(diǎn)只有一個(gè)點(diǎn)為（10，1）（4分）
∴2kπ+

π

2

=10m，m=

4k+1

20

π，(k∈z)，m∈(1，2)，
∴m=

9π

20

．…（6分）
根據(jù)圖象可知：兩個(gè)函數(shù)圖象的所有交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)．（注意：最后兩個(gè)點(diǎn)非常接近，幾乎粘合在一起．）…（7分）
（3）由（2）知f(x)=sin

9π

20

x，x∈[0，

5

9

]，
∴①當(dāng)a＞1時(shí)，不等式log_ax＞sinmx不能成立…（8分）
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由圖（2）可知loga

5

9

＞sin

π

4

=

2

2

，∴(

5

9

)

2

＜a＜1…（10分）