Question

已知函數(shù)和點(diǎn)P(1，0)，過(guò)點(diǎn)P作曲線y＝f(x)的兩條切線PM、PN，切點(diǎn)分別為M、N．

(Ⅰ)設(shè)，試求函數(shù)g(t)的表達(dá)式；

(Ⅱ)是否存在t，使得M、N與A(0，1)三點(diǎn)共線．若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下，若對(duì)任意的正整數(shù)n，在區(qū)間內(nèi)總存在m＋1個(gè)實(shí)數(shù)a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g(a₁)＋g(a₂)＋…＋g(a_m)＜g(a_m+1)成立，求m的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、， 　　，　　2分 　　∴切線的方程為：， 　　又切線過(guò)點(diǎn)，有， 　　即，(1) 　　同理，由切線也過(guò)點(diǎn)，得．(2) 　　由(1)、(2)，可得是方程的兩根，(*) 　　， 　　把(*)式代入，得， 　　因此，函數(shù)的表達(dá)式為．　　4分 　　(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)、與共線時(shí)，， 　　＝，即＝， 　　化簡(jiǎn)，得，　　3分 ，．(3) 　　把(*)式代入(3)，解得． 　　存在，使得點(diǎn)、與三點(diǎn)共線，且．　　2分 　　(Ⅲ)解法：易知在區(qū)間上為增函數(shù)， 　　， 　　則．　　1分 　　依題意，不等式對(duì)一切的正整數(shù)恒成立， 　　， 　　即對(duì)一切的正整數(shù)恒成立．　　2分 　　，， 　　．由于為正整數(shù)，． 　　又當(dāng)時(shí)，存在，，對(duì)所有的滿足條件． 　　因此，的最大值為．　　2分 　　解法：依題意，當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度最小時(shí)，得到的最大值，即是所求值． 　　，長(zhǎng)度最小的區(qū)間為， 　　當(dāng)時(shí)，與解法相同分析，得， 　　解得．　　1分 　　后面解題步驟與解法相同(略)．