Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）經(jīng)過原點(diǎn)分別作曲線、的切線，若兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：；

（2）設(shè)，當(dāng)時，恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)切線，切點(diǎn)為.

則,,

,

由題意，知切線的斜率為，方程為.

設(shè)曲線的切點(diǎn)為.

則.

又，消去、后，整理得:.

令.則:.

于是，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

若，由，，則.

而在上單調(diào)遞減，故.

若，因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，

所以，，這與題設(shè)矛盾.

綜上，.

（2）注意到，.

（i）當(dāng)時，由，則.

于是，在區(qū)間上遞增，恒成立，符合題意.

（ii）當(dāng)時，由，且

，

則在區(qū)間上遞增.

又，則存在，使得.

于是，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間遞增.

又，此時，不恒成立，不符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.