Question

已知點A（1，1）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩焦點，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）求過A（1，1）與橢圓相切的直線方程．

Answer 1

分析：（I）∵橢圓上的點A滿足|AF₁|+|AF₂|=4．利用橢圓的定義可得2a=4，解得a=2，于是橢圓的方程為

x2

4

+

y2

b2

=1，把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1，解得即可；
（2）經(jīng)驗證可知：過A與x軸垂直的直線與橢圓不相切，因此切線的斜率存在．設過A（1，1）的直線方程y-1=k（x-1），與橢圓的方程聯(lián)立消去y得關于x的方程：（3k²+1）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0．令△=0解得即可．

解答：解：（I）∵橢圓上的點A滿足|AF₁|+|AF₂|=4．∴2a=4，解得a=2，∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

b2

=1，
把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1，解得b2=

4

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

3y2

4

=1．
（II）經(jīng)驗證可知：過A與x軸垂直的直線與橢圓不相切，因此切線的斜率存在．
設過A（1，1）的直線方程y-1=k（x-1），由

y-1=k(x-1) x2 4 + 3y2 4 =1

，消去y得關于x的方程：（3k²+1）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0．
令△=36k²（k-1）²-4（3k²+1）（3k²-6k-1）=0，
解得k=-

1

3

，
故所求的切線方程為：x+3y-4=0．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相切問題轉化為方程聯(lián)立得到一元二次方程的△=0等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．