Question

已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，一個頂點為A（0，-1），且其右焦點到直線x-y+2

2

=0的距離為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，使l與已知橢圓交于不同的兩點M，N，且AN=AM？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為橢圓中心在原點，焦點在x軸上，可設橢圓的方程

x2

a 2

+y 2=1 (a＞1)，則其右焦點F（

a 2-1

，0），結(jié)合點到直線的距離公式列出關于a的方程求得a值，最后寫出橢圓的方程即可；
（2）設存在直線l，設其方程為：y=kx+b，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關系利用中點的坐標即可求得斜率的取值范圍，從而解決問題．

解答：解：（1）因為橢圓中心在原點，焦點在x軸上，一個頂點為A（0，-1），
由題意，可設橢圓的方程

x2

a 2

+y 2=1 (a＞1)，則其右焦點F（

a 2-1

，0）
所F到直線x-y+2

2

=0的距離d=3，解得a²=3
所以橢圓的方程

x2

3

+y 2=1（4分）
（2）設存在直線l，
設其方程為：y=kx+b，

y=kx+b x2 3 +y 2=1

消去y得：（3k²+1）x²+6bkx+3b²-3=0①，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
△=36b²k²-4（1+3k²）（3b²-3）＞0，1+3k²-b²＞0②，
∴x1+x2=-

6bk

1+3k2

∴y1+y2=

2b

1+3k2

MN的中點P的坐標(-

3bk

1+3k2

，

b

1+3k2

)，
因AN=AM，所AP是線MN的垂直平分線，∴AP⊥MN，
根據(jù)斜率之積為-1，可得：
b=

3k 2+1

2

，將其代入②并整理（3k²+1）（k²-1）＜0
∴-1＜k＜1故存在滿足條件的直l，其斜率的取值范圍-1＜k＜1，k≠0．（12分）

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．