Question

定義域?yàn)閇a，b]的函數(shù)y=f（x）圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點(diǎn)，其中x=λa+（1-λ）b∈[a，b]，已知向量

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，若不等式|

MN

|≤k恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．若函數(shù)y=x-

1

x

在[1，2]上“k階線性近似”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

k≥

3

2

-

2

．

Answer 1

分析：先得出M、N橫坐標(biāo)相等，再將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答：解：由題意，M、N橫坐標(biāo)相等，|

MN

|≤k恒成立，即|

MN

|max≤k，
由N在AB線段上，得A（1，0），B（2，

3

2

），
∴直線AB方程為y=

3

2

（x-1）
∴|

MN

|=y₁-y₂=x-

1

x

-

3

2

（x-1）=

3

2

-（

x

2

+

1

x

）≤

3

2

-

2

（當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

時(shí)，取等號(hào)）
∵x∈[1，2]，∴x=

2

時(shí)，|

MN

|max=

3

2

-

2

∴k≥

3

2

-

2

故答案為：k≥

3

2

-

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，解答的關(guān)鍵是將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，同時(shí)應(yīng)注意恒成立問(wèn)題的處理策略．