Question

設函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a-1），給出下述命題：
①f（x）有最小值；     
②當a=0時，f（x）的值域為R；        
③f（x）有可能是偶函數(shù)；
④若f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是[-4，+∞）；
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a-1），是一個對數(shù)型復合函數(shù)，外層是遞增的對數(shù)函數(shù)，內層是一個二次函數(shù)．故可依據兩函數(shù)的特征來對下面幾個命題的正誤進行判斷．

解答：解：①f（x）有最小值一定不正確，
因為定義域不是實數(shù)集時，函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a-1）的值域是R，無最小值，
題目中不能排除這種情況的出現(xiàn)，故①不對．
②當a=0時，f（x）的值域為R是正確的，
因為當a=0時，函數(shù)的定義域不是R，即內層函數(shù)的值域是（0，+∞），
故（x）的值域為R，故②正確．
③當a=0時，f（x）=lg（x²-1），f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故③正確；
④若f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調遞增，
則實數(shù)a的取值范圍是a≥-4．是不正確的，
由f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調遞增，可得內層函數(shù)的對稱軸-

a

2

≤2，
可得a≥-4，由對數(shù)式有意義可得4+2a-a-1＞0，解得a＞-3，
故由f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調遞增，應得出a＞-3，故④不對．
故答案為：②③

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點、對數(shù)函數(shù)的定義和值域、偶函數(shù)及復合函數(shù)的單調性，是一道函數(shù)的綜合應用題，其中④中易忽略真數(shù)部分必須大于0，而錯判為真命題．