Question

24、關(guān)于x的不等式lg（|x+3|-|x-7|）＜m．
（Ⅰ）當(dāng)m=1時，解此不等式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=lg（|x+3|-|x-7|），當(dāng)m為何值時，f（x）＜m恒成立？

Answer 1

分析：（1）轉(zhuǎn)化成絕對值不等式，令每項等于零，得到的值作為討論的分區(qū)點，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集．
（2）解決恒成立問題，可將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f（x）的最大值小于m即可．

解答：解：（1）當(dāng)m=1時，原不等式可變?yōu)?＜|x+3|-|x-7|＜10，
可得其解集為{x|2＜x＜7}．
（2）設(shè)t=|x+3|-|x-7|，
則由對數(shù)定義及絕對值的幾何意義知0＜t≤10，
因y=lgx在（0，+∞）上為增函數(shù)，
則lgt≤1，當(dāng)t=10，x≥7時，lgt=1，
故只需m＞1即可，
即m＞1時，f（x）＜m恒成立．

點評：本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，以及絕對值不等式的解法，所謂零點分段法，即令每項等于零，得到的值作為討論的分區(qū)點，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集．