Question

已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列a_n滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂、a₄的等差中項(xiàng)，則數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和S_n=

 

．

Answer 1

分析：先設(shè)出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)a₂+a₃+a₄=28得到①，根據(jù)a₃+2是a₂、a₄的等差中項(xiàng)列出式子化簡(jiǎn)得②，聯(lián)立①②可解出a和q，然后根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求出即可．

解答：解：設(shè)出等比數(shù)列的首項(xiàng)為a，公比為q，則a_n=aqⁿ，
因?yàn)閍₂+a₃+a₄=28得到aq+aq²+aq³=28①；又a₃+2是a₂、a₄的等差中項(xiàng)得到2（aq²+2）=aq+aq³②．
由①得：aq（1+q+q²）=28③，由②得：aq²=8，aq+aq³=20即aq（1+q²）=20④
③④兩邊相除得：

1+q+q2

1+q2

=

7

5

，化簡(jiǎn)得：2q²-5q+2=0即（2q-1）（q-2）=0，所以q=

1

2

或q=2，
因?yàn)榇藬?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以q=2，代入①求得a=2，
則數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和S_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．
答案為2ⁿ⁺¹-2

點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合題，要求學(xué)生會(huì)根據(jù)題中的兩個(gè)條件列出關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程并求出解，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值．