Question

已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=anlog

1

2

an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)和a₂+a₃+a₄=28，求出a₃、a₂+a₄的值，進(jìn)而得出首項(xiàng)和a₁，即可求得通項(xiàng)公式；
（II）先求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后求出-S_n-（-2S_n），即可求得的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)
∴2（a₃+2）=a₂+a₄
代入a₂+a₃+a₄=28，得a₃=8
∴a₂+a₄=20
∴

a1q+a1q3=20 a3=a1q2=8

∴

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

∵數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增
∴a_n=2ⁿ
（II）∵a_n=2ⁿ
∴b_n=2n•log

1

2

2n=-n•2ⁿ
∴-s_n=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ    ①
∴-2s_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n2ⁿ⁺¹  ②
∴①-②得，
s_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹-2

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的前n項(xiàng)和，對于等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積形式的數(shù)列，求前n項(xiàng)和一般采取錯位相減的辦法．