Question

設函數(shù)f(x)=2mcos2x-2

3

msinx•cosx+n(m＞0)的定義域為[0，

π

2

]，值域為[1，4]．
（1）求m，n的值；
（2）若f（x）=2，求x的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)兩角和與差的公式進行化簡，再由x的范圍確定2x+

π

3

的范圍，再由余弦函數(shù)的性質表示出函數(shù)f（x）的值域，進而可確定m，n的值．
（2）根據(jù)（1）求得函數(shù)f（x）的解析式，然后令f（x）=2，根據(jù)余弦函數(shù)的性質得到x的值．

解答：解：（1）f(x)=m(1+cos2x)-

3

msin2x+n
=2mcos(2x+

π

3

)+m+n．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]
cos(2x+

π

3

)∈[-1，

1

2

]，
∵m＞0，2mcos(2x+

π

3

)∈[-2m，m]，
所以f（x）_max=2m+n=4，
f（x）_min=-m+n=1，
m=1，n=2
（2）由（1）可知，m＞0時，
f(x)=2cos(2x+

π

3

)+3=2所以cos(2x+

π

3

)=-

1

2

，結合定義域為[0，

π

2

]，
解得x=

π

6

或x=

π

2

．

點評：本題主要考查兩角和與差的公式的應用和余弦函數(shù)的值域的求法．考查對余弦函數(shù)的簡單應用．三角函數(shù)的基本性質是高考中的重要考點，要注意復習．