Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)．
（1）若x=1為f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）若y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，
（i）求f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值；
（ii）求函數(shù)G（x）=[f'（x）+（m+2）x+m]e^-x（m∈R）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)閤=1是函數(shù)的極值點(diǎn)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)得到導(dǎo)函數(shù)的值為0，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）把x=1代入切線方程即可求出f（1）的值即可得到切點(diǎn)坐標(biāo)，然后把切點(diǎn)坐標(biāo)f（x）中得到關(guān)于a與b的關(guān)系式，同時(shí)把x=1代入到導(dǎo)函數(shù)中求出的值即為切線方程的斜率，而切線方程的斜率為-1，又得到關(guān)于a的關(guān)系式，求出a的值，把a(bǔ)的值代入前面的關(guān)系式中得到b的值，即可得到f（x）和導(dǎo)函數(shù)的解析式，（i）令導(dǎo)函數(shù)等于0得到f（x）的極值點(diǎn)，同時(shí)-2和4也為函數(shù)的極值點(diǎn)，把四個(gè)極值點(diǎn)分別代入到f（x）的解析式中即可得到f（x）的最大值；（ii）把f（x）的導(dǎo)函數(shù)代入G（x）的解析式中確定出G（x）的解析式，并求出G（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，得到相應(yīng)的x的值，然后利用x的值，由m大于2和小于2兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)大于0即可相應(yīng)x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)小于0即可求出相應(yīng)x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間．

解答：解：（1）f'（x）=x²-2ax+a²-1．
∵x=1是極值點(diǎn)∴f'（1）=0，即a²-2a=0∴a=0或2．
（2）∵（1，f（1））在x+y-3=0上．∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）上∴2=

1

3

-a+a2-1+b
又f'（1）=k=-1，∴1-2a+a²-1=-1
∴a2-2a+1=0，a=1，b=

8

3

∴f(x)=

1

3

x2-x2+

8

3

，f′(x)=x2-2x．

（i）由f'（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的極值點(diǎn)．
∵f(0)=

8

3

，f(2)=

4

3

，f(-2)=-4，f(4)=8，
∴f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值為8．

（ii）G（x）=（x²+mx+m）e^-x，得到G'（x）=（2x+m）e^-x-e^-x（x²+mx+m）=e^-x[-x²+（2-m）x]
令G'（x）=0，得x=0，x=2-m
當(dāng)m=2時(shí)，G'（x）≤0，此時(shí)G（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞減
當(dāng)m＞2時(shí)：

當(dāng)時(shí)G（x）在（-∞，2，-m），（0，+∞）單調(diào)遞減，在（2-m，0）單調(diào)遞增．
當(dāng)m＜2時(shí)：

此時(shí)G（x）在（-∞，0），（2-m+∞）單調(diào)遞減，在（0，2-m）單調(diào)遞增，
綜上所述：當(dāng)m=2時(shí)，G（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞減；
m＞2時(shí)，G（x）在（-∞，2-m），（0，+∞）單調(diào)遞減，在（2-m，0）單調(diào)遞增；
m＜2時(shí)，G（x）在（-∞，0），（2-m，+∞）單調(diào)遞減，在（0，2-m）單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)曲線方程的斜率，是一道綜合題．