Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，c_n=a_n²-a_n+1²（n∈N^*）
（1）判斷數(shù)列{c_n}是否是等差數(shù)列，并說明理由；
（2）如果a₁+a₃+…+a₂₅=130，a₂+a₄+…+a₂₆=143-13k（k為常數(shù)），試寫出數(shù)列{c_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若數(shù)列{c_n}得前n項和為S_n，問是否存在這樣的實數(shù)k，使S_n當(dāng)且僅當(dāng)n=12時取得最大值．若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè){a_n}的公差為d，則c_n+1-c_n=（a_n+1²-a_n+2²）-（a_n²-a_n+1²）=-2d²，所以數(shù)列{c_n}是以-2d²為公差的等差數(shù)列．
（2）由a₁+a₃+…+a₂₅=130a₂+a₄+…+a₂₆=143-13k，知13d=13-13k，d=1-k，由此能導(dǎo)出a_n=a₁+（n-1）d=（1-kn+（13k-3）），由此能求出數(shù)列{c_n}的通項公式．
（3）因為當(dāng)且僅當(dāng)n=12時S_n最大，所以c₁₂＞0，c₁₃＜0，由此能求出k的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，則c_n+1-c_n=（a_n+1²-a_n+2²）-（a_n²-a_n+1²）=2a_n+1²-（a_n+1-d）²-（a_n+1+d）²=-2d²
∴數(shù)列{c_n}是以-2d²為公差的等差數(shù)列（4分）
（2）∵a₁+a₃+…+a₂₅=130a₂+a₄+…+a₂₆=143-13k∴兩式相減：13d=13-13k
∴d=1-k（6分）
∴∴a₁=-2+12k（8分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=（1-k）n+（13k-3）
∴c_n=a_n²-a_n+1²=（a_n+a_n+1）（a_n-a_n+1）=26k²-32+6-（2n+1）（1-k²）=-2（1-k）²•n+25k²-30k+5（10分）
（3）因為當(dāng)且僅當(dāng)n=12時S_n最大
∴有c₁₂＞0，c₁₃＜0（12分）
即
（15分）
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意公式的合理運用．