Question

已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，則直線PD與平面ABC所成的角為

π

4

．

Answer 1

分析：如圖所示，不妨設(shè)AB=2，則PA=4，利用正六邊形的性質(zhì)即可得出AD的長，再利用線面垂直的性質(zhì)和線面角的定義可知：∠PDA是直線PD與平面ABC所成的角．

解答：解：如圖所示，不妨設(shè)AB=2，則PA=4．
連接AD，作BM⊥AD，CN⊥AD，垂足分別為M、N，
由正六邊形的性質(zhì)可得，∠BAD=60°，∴AM=ABcos60°=1，同理DN=1，
四邊形BCNM為矩形，∴MN=BC=2，∴AD=4．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，∠PDA是直線PD與平面ABC所成的角．
在Rt△PAD中，tan∠PDA=

PA

AD

=

4

4

=1，∴∠PDA=

π

4

．
故答案為

π

4

．

點(diǎn)評：熟練掌握正六邊形的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)和線面角的定義是解題的關(guān)鍵．