Question

已知函數(shù)f（x）=lg（x+

a

x

-2），其中a為大于零的常數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若對(duì)任意x∈[2，+∞），恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍；
（3）若f（x）的值域?yàn)镽，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)f（x）的定義域，就是求 x+

a

x

-2＞0，可以通過對(duì)數(shù)的真數(shù)是正數(shù)解決；
（2）對(duì)任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即 x+

a

x

-2＞1對(duì)x∈[2，+∞）恒成立，轉(zhuǎn)化為a是x的函數(shù)，即可求得a的取值范圍．
（3）f（x）的值域?yàn)镽，則其真數(shù)在實(shí)數(shù)集上不恒為正，將這一關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式求解參數(shù)的范圍即可．

解答：解：（1）由 x+

a

x

-2＞0得，

x2-2x+a

x

＞0，
a=1時(shí)，定義域?yàn)閧x|x＞0且x≠1}，
（2）對(duì)任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
 即 x+

a

x

-2＞1對(duì)x∈[2，+∞）恒成立
∴a＞3x-x²，而 h(x)=3x-x2=-(x-

3

2

)2+

9

4

在x∈[2，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（x）_max=h（2）=2，
∴a＞2．
（3）函數(shù) f(x)=loga(x+

a

x

-2)，（a＞0）的值域?yàn)镽，其真數(shù)在實(shí)數(shù)集上不恒為正，
即 x+

a

x

-2＞0不恒成立，即存在x∈R使得 x+

a

x

≤2，又a＞0
故可求 x+

a

x

的最小值，令其小于等于2
∵x+

a

x

≥2

a

∴2

a

≤2，解得a≤1，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，（1）著重考查分類討論思想；（2）著重考查分離參數(shù)法，是一道好題．